1. 벡터공간

벡터공간

---

체 $F$에서의 벡터공간 $V$는 두 연산, 벡터 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다. 이러한 연산들은 아래의 조건을 만족하며 벡터 공간내 유일한 원소를 대응시킨다.

1. 벡터 합에 대한 교환법칙, 결합법칙, 항등원 및 역원 존재
2. 스칼라 곱에 대한 결합법칙, 항등원 존재
3. 벡터 합에 대한 스칼라 곱의 분배법칙
   $a(x + y) = ax + ay$
4. 스칼라 합에 대한 스칼라 곱의 분배법칙
   $(a + b)x = ax + bx$

여기서 체 $F$의 원소를 스칼라, 벡터공간 $V$의 원소를 벡터라 한다.

부분공간

---

벡터 공간 $W$가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 아래와 같다.

1. $0 \in W$
   ($W$에 $V$의 영벡터가 존재한다.)
2. 모든 $x \in W$, $y \in W$에 대하여 $x + y \in W$
   ($W$는 덧셈에 대해 닫혀있다.)
3. 모든 $c \in F$와 모든 $x \in W$에 대하여 $cx \in W$
   ($W$는 곱셈에 대해 닫혀있다.)

일차결합과 생성공간

---

$S$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 $u_1, u_2, … u_n \in S$와 스칼라 $a_1, a_2, … a_n$에 대하여 다음을 만족하는 벡터 $v \in S$를 $S$의 일차결합이라 한다. \(v = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n\) 또한 $S$의 생성공간은 $S$의 벡터를 사용해서 만든 모든 일차결합의 집합이며, $span(S)$라 표기한다.

일차종속과 일차독립

---

벡터공간 $V$의 부분집합 $u_1, u_2, … u_n \in S$에 대하여 $a_1u_1 + a_2u_2 + … + a_nu_n = 0$을 만족하는 자명하지 않은 표현($a_1 = a_2 = … = a_n = 0$이 아닌 표현)이 존재하면 집합 $S$는 일차종속이라 한다. 나아가 일차종속이 아닌 집합을 일차독립이라 한다.

기저와 차원

---

$S$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라 하자. $S$가 일차독립이고 $V$를 생성하면 $S$를 $V$의 기저라 한다. 또한 $S$의 기저는 항상 n개의 벡터로 이루어져있으며, 이 유일한 자연수 n을 벡터공간의 차원이라 한다.