2. 선형변환과 행렬
선형변환
다음을 만족하는 함수 $T: V \rightarrow W$를 $V$에서 $W$로 가는 선형변환이라 한다.
- $T(x+y) = T(x)+T(y)$
- $T(cx) = cT(x)$
영공간과 상공간
영공간은 $T(x) = 0$인 $x \in V$을 원소로 가지는 집합이며 $N(T)$로 표현한다. 영공간의 차원을 nullity라 하고 $nullity(T)$라 표현한다.
상공간은 $T$의 함수값을 원소로 가지는 집합이며 $R(T)$라 표현한다. 상공간의 차원을 $rank$라 하고 $rank(T)$라 표현한다.
차원 정리
선형변환 $T: V \rightarrow W$에 대해 다음이 성립한다. \(nullity(T) + rank(T) = dim(V)\)
선형변환의 행렬 표현
모든 선형변환은 행렬로써 표현될 수 있다.
순서 기저 $\beta$와 $\gamma$에 대한 선형변환 $T$의 행렬 표현은 $[T]_{\beta}^{\gamma}$라 한다.
행렬 곱과 선형변환의 합성
$m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B$에 대하여 두 행렬 $A$, $B$의 곱 $AB$는 다음과 같이 정의된 $m \times p$ 행렬이다.
\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}\]나아가 벡터공간 $V$, $W$, $Z$와 각각의 순서기저 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, 선형변환 $T: V \rightarrow W, U: W \rightarrow Z$에 대해 다음이 성립한다.
\[[UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma} [T]_{\alpha}^{\beta}\]즉, 선형변환에 대응되는 행렬의 곱은 선형변환의 합성과 동일하다.
가역성
선형변환 $T: V \rightarrow W$에 대해 $TU = I_w$이고 $UT = I_v$인 함수 $U$를 $T$의 역함수라 한다. 역함수가 존재하는 $T$를 가역이라 하며 이 역함수를 $T^{-1}$라 표기한다.
동형사상
두 벡터공간 $V$, $W$ 사이에 가역인 선형변환 $T: V \rightarrow W$가 존재하면 $V$는 $W$와 동형이다. 이때 가역인 선형변환을 $V$에서 $W$로 가는 동형사상이라 한다.
두 벡터공간이 동형사상일 필요충분조건은 $dim(V) = dim(W)$이다.